Výpočet průhybu nosníku – dřevěný a kovový, vzorce

Ve strojírenských a stavebních vědách (pevnost materiálů, stavební mechanika, teorie pevnosti) je nosník chápán jako prvek nosné konstrukce, vnímaný především ohybovým zatížením a má různé tvary průřezu.

V reálné výstavbě jsou trámové konstrukce samozřejmě zatíženy i jinými druhy zatížení (zatížení větrem, vibracemi, střídavé zatížení), nicméně hlavní výpočet vodorovných, vícepodpěrových a pevně upevněných trámů se provádí pro působení buď příčné zatížení nebo ekvivalentní zatížení na něj redukované.

Výpočtové schéma uvažuje nosník jako pevně upevněnou tyč nebo jako tyč namontovanou na dvou podpěrách. Při přítomnosti 3 a více podpěr je prutový systém uvažován staticky neurčitě a výpočet průhybu jak celé konstrukce, tak jejích jednotlivých prvků se značně zkomplikuje.

V tomto případě je hlavní zatížení uvažováno jako součet sil působících ve směru kolmém k řezu. Účelem výpočtu průhybu je určit maximální průhyb (deformaci), který by neměl překročit mezní hodnoty a charakterizuje tuhost jak jednotlivého prvku (a celé stavební konstrukce s ním spojené).

Základní ustanovení výpočtových metod

Moderní konstrukční metody pro výpočet pevnosti a tuhosti prutových (trámových) konstrukcí umožňují stanovit hodnotu průhybu již ve fázi návrhu a vyvodit závěr o možnosti provozování stavební konstrukce.

Výpočet pro tuhost nám umožňuje řešit problém největších deformací, které mohou nastat ve stavební konstrukci při komplexním působení různých druhů zatížení.

Moderní výpočetní metody, prováděné pomocí specializovaných výpočtů na elektronických počítačích, nebo prováděné pomocí kalkulačky, umožňují určit tuhost a pevnost výzkumného objektu.

Přes formalizaci výpočtových metod, které zahrnují použití empirických vzorců, a vliv skutečných zatížení je zohledněn zavedením korekčních faktorů (součinitelů bezpečnosti), komplexní výpočet zcela plně a adekvátně posuzuje provozní spolehlivost stavěné konstrukce resp. vyrobený prvek jakéhokoli stroje.

Navzdory oddělené pevnosti výpočtů a stanovení tuhosti konstrukce jsou obě metody vzájemně propojeny a pojmy „tuhost“ a „síla“ jsou neoddělitelné. U strojních součástí však dochází k hlavní destrukci předmětu ztrátou pevnosti, zatímco předměty stavební mechaniky jsou často nevhodné pro další provoz z důvodu výrazných plastických deformací, které svědčí o nízké tuhosti konstrukčních prvků nebo předmětu. jako celek.

Dnes jsou v disciplínách „Pevnost materiálů“, „Konstrukční mechanika“ a „Součásti strojů“ akceptovány dvě metody pro výpočet pevnosti a tuhosti:

1. Zjednodušený (formální), při které se při výpočtech používají agregované koeficienty.
2. Rafinovaný, kde se používají nejen bezpečnostní součinitele, ale také se počítá kontrakce podle mezních stavů.

Algoritmus výpočtu tuhosti

Vzorec pro stanovení pevnosti nosníku v ohybu

Kde:

• M – maximální moment, který se vyskytuje v nosníku (zjištěno z diagramu momentů);
• W_n,min – modul průřezu (umístěný v tabulce nebo vypočtený pro daný profil), průřez má obvykle 2 moduly průřezu, Wx se používá ve výpočtech, pokud je zatížení kolmé k ose x-x profilu nebo Wy, pokud je zatížení kolmé k profilu. osa yy;
• R_y– návrhová odolnost oceli v ohybu (nastavena dle výběru oceli);
• γ_c – koeficient pracovních podmínek (tento koeficient lze nalézt v tabulce 1 SP 16.13330.2011;

Algoritmus pro výpočet tuhosti (určení hodnoty průhybu) je poměrně formalizovaný a jeho zvládnutí není obtížné.

Aby bylo možné určit průhyb paprsku, je nutné provést následující kroky v následujícím pořadí:

1. Nakreslete schéma výpočtu výzkumný objekt.
2. Určete rozměrové charakteristiky nosníky a konstrukční části.
3. Vypočítejte maximální zatíženípůsobící na paprsek, určující bod jeho aplikace.
4. Pokud je potřeba, nosník (v návrhovém schématu bude nahrazen beztížnou tyčí) je navíc kontrolován na pevnost maximálním ohybovým momentem.
5. Stanoví se hodnota maximální výchylky, která charakterizuje tuhost nosníku.

Chcete-li sestavit schéma návrhu pro nosník, potřebujete vědět:

1. Geometrické rozměry nosníku, včetně rozpětí mezi podpěrami a v přítomnosti konzol – jejich délka.
2. geometrický tvar a rozměry průřezu.
3. Povaha zátěže a body jejich použití.
4. Materiál nosníku a jeho fyzikální a mechanické vlastnosti.

V nejjednodušším výpočtu dvounosných nosníků je jedna podpora považována za tuhou a druhá je kloubová.

Stanovení momentů setrvačnosti a průřezového odporu

Geometrické charakteristiky, které jsou nezbytné při provádění výpočtů pevnosti a tuhosti, zahrnují moment setrvačnosti průřezu (J) a moment odporu (W). Pro výpočet jejich hodnoty existují speciální kalkulační vzorce.

Vzorec modulu průřezu

Při stanovení momentů setrvačnosti a odporu je nutné dbát na orientaci řezu v rovině řezu. S rostoucím momentem setrvačnosti se zvyšuje tuhost nosníku a klesá průhyb. To lze snadno ověřit v praxi, pokusit se ohnout prkno v obvyklé poloze “v leže” a položit jej na okraj.

Stanovení maximálního zatížení a průhybu

Kde:

• q – rovnoměrně rozložené zatížení, vyjádřené v kg / m (N / m);
• l – délka nosníku v metrech;
• E – modul pružnosti (u oceli je to 200-210 GPa);
• I je moment setrvačnosti úseku.

Při určování maximálního zatížení je nutné vzít v úvahu poměrně značné množství faktorů, které působí jak neustále (statické zatížení), tak periodicky (vítr, vibrační rázové zatížení).

V jednopatrovém domě budou na dřevěný trám stropu působit konstantní tíhové síly z vlastní hmotnosti, stěny umístěné ve druhém patře, nábytek, obyvatelé atd.

Vlastnosti výpočtu průhybu

Výpočet podlahových prvků pro průhyb se samozřejmě provádí pro všechny případy a je povinný za přítomnosti významné úrovně vnějších zatížení.

Dnes jsou všechny výpočty hodnoty průhybu zcela formalizované a všechna složitá skutečná zatížení jsou redukována na následující jednoduchá návrhová schémata:

1. Rod, založené na pevné a sklopné podpěře, vnímající soustředěné zatížení (případ diskutovaný výše).
2. Rod, založené na pevném a otočně pevném, na které působí rozložené zatížení.
3. Různé možnosti načítání pevně upevněná konzolová tyč.
4. Působení na návrhový objekt komplexního zatížení – rozložený, koncentrovaný, ohybový moment.

Způsob a algoritmus výpočtu přitom nezávisí na materiálu výroby, jehož pevnostní charakteristiky jsou zohledněny různými hodnotami modulu pružnosti.

Nejčastější chybou bývá podcenění měrných jednotek. Například silové faktory jsou do výpočtových vzorců nahrazeny v kilogramech a hodnota modulu pružnosti se bere podle systému SI, kde neexistuje pojem „kilogram síly“ a veškeré úsilí se měří v newtonech nebo kilonewtonech. .

Typy nosníků používaných ve stavebnictví

Moderní stavebnictví při výstavbě průmyslových a bytových objektů praktikuje použití tyčových systémů různých průřezů, tvarů a délek, vyrobených z různých materiálů.

Nejrozšířenější jsou ocelové a dřevěné výrobky. V závislosti na použitém materiálu má stanovení hodnoty průhybu své vlastní nuance související se strukturou a rovnoměrností materiálu.

Dřevěný

Moderní nízkopodlažní výstavba jednotlivých domů a venkovských chalup praktikuje široké použití kulatiny z jehličnatého a tvrdého dřeva.

V zásadě se ohýbání dřevěných výrobků používá pro uspořádání stropů podlah a stropů. Právě tyto konstrukční prvky zaznamenají největší účinek příčného zatížení a způsobí největší průhyb.

Průhyb dřevěné klády závisí na:

1. Z materiálu (druh dřeva), který se používal při výrobě trámů.
2. Z geometrických charakteristik a tvar vytvrzené části designovaného objektu.
3. Z kumulativní akce různé druhy zátěží.

Kritérium pro akceptování vychýlení paprsku bere v úvahu dva faktory:

1. Vyhovění skutečnému průhybu maximální přípustné hodnoty.
2. Schopnost obsluhovat konstrukci v přítomnosti vypočteného průhybu.

Mají složitější průřez, který může být kompozitní, vyrobený z několika druhů válcovaného kovu. Při výpočtu kovových konstrukcí je kromě stanovení tuhosti samotného objektu jeho prvků často nutné určit pevnostní charakteristiky spojů.

Obvykle se spojení jednotlivých prvků ocelové konstrukce provádí:

Výpočet průhybu nosníku musí být proveden pro téměř jakoukoli konstrukci, aby se ověřila její spolehlivost a pevnost. Pod vlivem vnějších, vnitřních faktorů, přírodních jevů podléhá paprsek deformaci.

Nosník je porovnán s tyčí upevněnou na podpěrách. Čím více podpor, tím obtížnější je provést výpočet sami. Hlavní zatížení se vypočítá sečtením sil kolmých k řezu.

Tento výpočet – základ pevnosti materiálů, pomáhá určit nejvyšší deformaci. Hodnoty ukazatelů by měly být v mezích přijatelných hodnot.

Druhy paprsků

Při stavbě budov se používají nosníky různých konfigurací, velikostí, profilů a vzorů průřezů. Jsou vyrobeny z kovu a dřeva. Pro jakýkoli typ použitého materiálu je nutný individuální výpočet ohybu.

– používají se především při výstavbě jednotlivých objektů. Používají se při konstrukci podlah, stropů, nosných stropů. Dřevo je vrtošivý materiál a podléhá deformaci. Pro stanovení maximálního ohybu jsou podstatné tyto parametry: použitý profil, velikost, zatížení, povaha průřezu.

– takové nosníky jsou vyrobeny ze slitiny kovů a jejich průřez je složitý. Zvláštní pozornost je proto věnována tuhosti, stejně jako pevnosti spojů. Kovové nosníky se používají při stavbě výškových budov, konstrukcí, které vyžadují vysokou pevnost.

Výpočet hodnoty maximálního průhybu

Při výpočtu nosníku vzorec zobrazí všechny potřebné prvky. Je třeba mít na paměti, že vzorec použitý pro výpočty může mít mírně odlišný tvar, pokud se výpočet provádí pro různé typy zatížení, které ovlivní nosník.

Nejprve vás upozorníme na vzorec používaný pro výpočet maximálního průhybu dřevěného trámu s rozloženým zatížením.

Upozorňujeme, že v tomto vzorci je E konstantní hodnota, která se nazývá modul pružnosti materiálu. U dřeva je tato hodnota 100 000 kgf / m².

Pokračujeme-li ve výpočtech s našimi daty použitými pro příklad, dostaneme, že pro trám vyrobený ze dřeva, jehož průřez je 0,15×0,2 m a délka je 4 m, je maximální průhyb při vystavení rozloženému zatížení 0,83 cm.

Vezměte prosím na vědomí, že při výpočtu průhybu s přihlédnutím ke schématu s koncentrovaným zatížením má vzorec následující podobu:

F je tlaková síla na nosník.

Upozorňujeme také na skutečnost, že hodnota modulu pružnosti použitá ve výpočtech se může pro různé druhy dřeva lišit. Vliv má nejen druh dřeva, ale také druh dřeva. Masivní nosník ze dřeva, lepeného lamelového dřeva nebo zaoblených kulatin bude mít proto různé moduly pružnosti, a tedy i různé hodnoty maximálního průhybu.

Při výpočtu průhybu nosníků můžete sledovat různé cíle. Pokud chcete znát meze deformace konstrukčních prvků, pak po dokončení výpočtu šipky průhybu můžete zastavit. Pokud je vaším cílem stanovit úroveň souladu nalezených ukazatelů se stavebními předpisy, je třeba je porovnat s údaji, které jsou umístěny ve zvláštních regulačních dokumentech.

Pevnost a tuhost nosníku

Při návrhu je třeba vzít v úvahu ohyb nosníků, aby byl návrh spolehlivý, kvalitní, odolný a praktický.

Tyto parametry ovlivňují následující faktory:

• velikost vnějších zatížení, jejich poloha;
• parametry, povaha, zjištění průřezu;
• podélné rozměry;
• materiál;
• počet podpěr, způsob jejich upevnění.

Existují 2 metody výpočtu: jednoduchá – použije se zvětšovací faktor a přesná – navíc zahrnuje výpočty hranic.

Pokyny pro kalkulačku

Upozorňuji na to, že v neceločíselných číslech je nutné dát tečku, nikoliv čárku, tedy např. 5.7 m, nikoliv 5,7. Pokud vám něco není jasné, zeptejte se prostřednictvím formuláře pro komentáře, který se nachází úplně dole.

Počáteční data

Délka rozpětí (L) – rozpětí, které by měl trám pokrýt.

Vzdálenosti (A a B) – vzdálenosti od podpěr k místům působení zatížení. V případě třetího schématu délka konzoly.

Regulační a návrhové zatížení – zatížení, podle kterých se volí kanál pro průhyb a ohyb.

Komentář. Pokud potřebujete vypočítat podlahový nosník a vaše zatížení je vyjádřeno v kg / m2, můžete jej přeložit vynásobením krokem nosníků. Například návrhové zatížení stropu je 400 kg / m2, rozteč nosníků je 0,6 m, pak zatížení, které je třeba uvést ve sloupci vstupních údajů, bude 400 0,6 u240d XNUMX kg / m.

Fmax je poměr délky rozpětí k jednotce, zvolený podle tabulky E.1 SNiP “Zatížení a účinky”, v závislosti na typu konstrukce. Nejběžnější hodnoty tohoto parametru jsou uvedeny v tabulce 1.

Počet kanálů – zde můžete zvolit počet kanálů, které tvoří jeden paprsek. To znamená, že kanály leží vedle sebe a ne na sobě.

umístění – orientace kanálu vzhledem k působícímu zatížení (viz obrázek).

Návrhová odolnost Ry– Tento parametr závisí na jakosti oceli. Například, je-li jakost oceli C235, pak Ry = 230 MPa. (Pozn.: konstruktéři někdy berou 210 MPa za zajištění Ry, protože v Rusku se může stát cokoliv). Nejběžnější hodnoty jsou uvedeny v tabulce 2.

Poté si vyberete určitý typ kanálu podle GOST (v tomto případě je to GOST 8240-97), u kterého je třeba zkontrolovat průhyb a ohyb.

Výpočet tuhosti

• M – max moment, který se vyskytuje v paprsku;
• Wn,min – modul průřezu (index tabulky);
• Ry – odpor v ohybu (vypočítaný indikátor);
• γc je ukazatel pracovních podmínek (tabulkový ukazatel).

Takový výpočet není pracný, ale pro přesnější hodnotu je potřeba:

• pracovní plán objektu;
• stanovení charakteristik nosníku, charakteru řezu;
• stanovení maximálního zatížení působícího na nosník;
• posouzení bodu maximálního vychýlení;
• pevnostní zkouška max. ohybový moment.

Algoritmus výpočtu tuhosti

Vzorec pro stanovení pevnosti nosníku v ohybu

Kde:

• M – maximální moment, který se vyskytuje v nosníku (zjištěno z diagramu momentů);
• Wn, min – modul průřezu (umístěný v tabulce nebo vypočtený pro daný profil), průřez má obvykle 2 moduly průřezu, Wx se používá ve výpočtech, pokud je zatížení kolmé k ose x-x profilu nebo Wy, pokud je zatížení kolmé k profilu. osa yy;
• Ry– návrhová odolnost oceli v ohybu (nastavena dle výběru oceli);
• γc – koeficient pracovních podmínek (tento koeficient lze nalézt v tabulce 1 SP 16.13330.2011;

Algoritmus pro výpočet tuhosti (určení hodnoty průhybu) je poměrně formalizovaný a jeho zvládnutí není obtížné.

Aby bylo možné určit průhyb paprsku, je nutné provést následující kroky v následujícím pořadí:

1. Nakreslete schéma výpočtu výzkumný objekt.
2. Určete rozměrové charakteristiky nosníky a konstrukční části.
3. Vypočítejte maximální zatíženípůsobící na paprsek, určující bod jeho aplikace.
4. Pokud je potřeba, nosník (v návrhovém schématu bude nahrazen beztížnou tyčí) je navíc kontrolován na pevnost maximálním ohybovým momentem.
5. Stanoví se hodnota maximální výchylky, která charakterizuje tuhost nosníku.

Chcete-li sestavit schéma návrhu pro nosník, potřebujete vědět:

1. Geometrické rozměry nosníku, včetně rozpětí mezi podpěrami a v přítomnosti konzol – jejich délka.
2. geometrický tvar a rozměry průřezu.
3. Povaha zátěže a body jejich použití.
4. Materiál nosníku a jeho fyzikální a mechanické vlastnosti.

V nejjednodušším výpočtu dvounosných nosníků je jedna podpora považována za tuhou a druhá je kloubová.

Stanovení momentů setrvačnosti a průřezového odporu

Geometrické charakteristiky, které jsou nezbytné při provádění výpočtů pevnosti a tuhosti, zahrnují moment setrvačnosti průřezu (J) a moment odporu (W). Pro výpočet jejich hodnoty existují speciální kalkulační vzorce.

Vzorec modulu průřezu

Při stanovení momentů setrvačnosti a odporu je nutné dbát na orientaci řezu v rovině řezu. S rostoucím momentem setrvačnosti se zvyšuje tuhost nosníku a klesá průhyb. To lze snadno ověřit v praxi, pokusit se ohnout prkno v obvyklé poloze “v leže” a položit jej na okraj.

Stanovení maximálního zatížení a průhybu

Kde:

• q – rovnoměrně rozložené zatížení, vyjádřené v kg / m (N / m);
• l – délka nosníku v metrech;
• E – modul pružnosti (u oceli je to 200-210 GPa);
• I je moment setrvačnosti úseku.

Při určování maximálního zatížení je nutné vzít v úvahu poměrně značné množství faktorů, které působí jak neustále (statické zatížení), tak periodicky (vítr, vibrační rázové zatížení).

V jednopatrovém domě budou na dřevěný trám stropu působit konstantní tíhové síly z vlastní hmotnosti, stěny umístěné ve druhém patře, nábytek, obyvatelé atd.

Vlastnosti výpočtu průhybu

Výpočet podlahových prvků pro průhyb se samozřejmě provádí pro všechny případy a je povinný za přítomnosti významné úrovně vnějších zatížení.

Dnes jsou všechny výpočty hodnoty průhybu zcela formalizované a všechna složitá skutečná zatížení jsou redukována na následující jednoduchá návrhová schémata:

1. Rod, založené na pevné a sklopné podpěře, vnímající soustředěné zatížení (případ diskutovaný výše).
2. Rod, založené na pevném a otočně pevném, na které působí rozložené zatížení.
3. Různé možnosti načítání pevně upevněná konzolová tyč.
4. Působení na návrhový objekt komplexního zatížení – rozložený, koncentrovaný, ohybový moment.

Způsob a algoritmus výpočtu přitom nezávisí na materiálu výroby, jehož pevnostní charakteristiky jsou zohledněny různými hodnotami modulu pružnosti.

Nejčastější chybou bývá podcenění měrných jednotek. Například silové faktory jsou do výpočtových vzorců nahrazeny v kilogramech a hodnota modulu pružnosti se bere podle systému SI, kde neexistuje pojem „kilogram síly“ a veškeré úsilí se měří v newtonech nebo kilonewtonech. .

Výpočet průhybu a jeho vlastnosti

Je nezbytný pro všechny podlahy s vysokým provozním zatížením.

Při použití příslušných koeficientů dodržujte následující:

• nosník podepřený na jedné tuhé a jedné kloubové podpěře, vystavený soustředěnému zatížení;
• nosník podepřený na tuhé a sklopné podpěře, vystavený rozloženému zatížení;
• zatížení typu konzoly;
• dopad komplexní zátěže.

Výpočet průhybů nosníků. Pracovní algoritmus

Algoritmus, kterým se takový výpočet provádí, je ve skutečnosti poměrně jednoduchý. Jako příklad uveďme poněkud zjednodušené schéma výpočtu, přičemž vynecháme některé konkrétní termíny a vzorce. Aby bylo možné vypočítat paprsky pro vychýlení, je nutné provést řadu akcí v určitém pořadí. Algoritmus výpočtu je následující:

• Vypracovává se schéma výpočtu.
• Jsou určeny geometrické charakteristiky nosníku.
• Vypočítá se maximální zatížení tohoto prvku.
• V případě potřeby se kontroluje pevnost nosníku z hlediska ohybového momentu.
• Vypočítá se maximální průhyb.

Jak vidíte, všechny kroky jsou docela jednoduché a docela proveditelné.

Jak vypočítat pomocné veličiny

Chcete-li získat úplné informace o hodnotách nezbytných k dosažení konečného cíle výpočtů, musíte zjistit, jaký je moment odporu sekce (vzorec č. 2):

Wn (povinné) uXNUMXd M max / (Ry * Uc)

Je nutné vzít v úvahu orientaci uvažovaného průřezu nosníku, protože s poklesem momentů setrvačnosti klesá tuhost nosníků, což nelze připustit. Pro zjištění maximální hodnoty zatížení f, které nosník vydrží, je nutné ji vypočítat pomocí následujícího vzorce č. 3:

f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦], kde

• L – podélný rozměr, v metrech
• E – koeficient ukazující elasticitu (pro každý materiál nebo slitinu se bude lišit)
• J je moment setrvačnosti nad úsekem
• qn je zatížení rovnoměrně rozložené, vyjádřené v kg/m nebo N/m

J index se vypočítá takto:

• b – průměr sekce
• h – vertikální velikost řezu

Příklad pro úseky o rozměrech 15 x 20 centimetrů:

J = 0,15 * (0,2)3 / 12 = 10 000 cm4 nebo 0,0001 m4

Kromě uvedených výpočtových nebo tabulkových hodnot patří mezi důležité faktory, které je třeba vzít v úvahu při stanovení maximálních zatížení, následující: statické (které působí neustále, bez ohledu na proměnlivé vnější faktory), periodické (účinek větru vibrace, otřesy).

Jak vypočítat průhyb pro paprsek doma

Chcete-li vypočítat, zda je konkrétní paprsek vhodný pro stavbu domu, musíte znát následující ukazatele:

• M – to je maximální moment, který se vyskytuje v nosníku, umístěný na diagramu momentů. Diagram je speciální kresba znázorňující prostorovou postavu zobrazenou v rovině.
• W n, min – průřezový modul (jeho hodnota je zjištěna podle tabulky).
• Ry je odolnost, kterou má materiál, ze kterého je vyroben konstrukční prvek domu, v ohybu od zatížení.
• Yc – další ukazatel (lze jej nalézt v jedné z mnoha tabulek stavebních předpisů).

Vzorec pro výpočet průhybu je nerovnost následujícího tvaru (vzorec č. 1):

М / (W n, min* Ry * Уc) ≤1

Chcete-li správně použít vzorec, musíte postupovat takto:

• Nakreslete schematický nosník a jeho budoucí umístění pod střechou domu. Abyste správně zobrazili všechny části studovaného objektu na výkresu, musíte znát tvar a lineární rozměry nosníku, průřez, povahu budoucích zatížení a materiál, ze kterého je nosník vyroben.
• Napište jeho přesné rozměry.
• Vypočítejte podle uvedeného vzorce, který se rovná podílu maximálního momentu paprsku k součinu zbývajících tří veličin.
• Porovnejte výsledek s jednou: pokud je menší nebo roven 1, pak výpočet dává kladnou odpověď.

Znáte-li hodnotu parametrů uvažovaného nosníku a sil, které na něj působí, pomocí jednoduchých výpočtů se můžete rychle vyrovnat s úkolem vypočítat přípustnou deformaci nosníku doma.